Elektronika Lanjut (Sistem Linier)

SISTEM LINIER (Elektronika Lanjut)

TRANSFORMASI-Z

Metode-metode trasformasi sangat bermanfaat dalam pempelajari sistem-sistem linear takubah-waktu. Telaah terhadap sistem-sistem ini disederhanakan oleh kalkulus transformasi dengan:

memberikan intuisi yang mana tidak nyata dalam pemecahan kawasan waktu.
mengikutsertakan syarat-syarat awal secara otomatis dalam proses pemecahan.
menyederhanakan proses pemecahan dari berbagai persoalan menjadi sekedar melihat saja pada tabel, seperti halnya yang dilakukan pada logaritma sebelum ditemui kalkulator tangan.

Namun demikian, salah satu kekurangan dari pemecahan-pemecahan kawasan transformasi ini, sekurang-kurangnya secara mendidik, tampaknya bahwa kita seringkali lupa akan hakikat fisis dari persoalanya dalam kawasan trasformasi. Proses pemecahanya dapat menjadi suatu proses ibarat “menghidupkan mesin belaka“. Kecenderungan ini tidaklah menguntungkan, karena kita seringkali melupakan atribut-atribut fisis yang bermanfaat dari persoalannya.

Salah satu sasaran utama dari telaah ini adalah mengembangkan kesadaran pembaca terhadap permasalahan apa yang tersangkut, dan dalam pengertian yang umum, dalam menerapkan metode transformasi. Untuk alasan ini, pertama kita menyelidiki transformasi-Z, yang mana kemungkinan besar para pembaca sedikit mempunyai pemahaman pendahuluan mengenainya. Kalkulus transformasi telah dikenal dalam teori probabilitas sebagai metode“fungsi penurun-momen“ (momen generating function). Meskipun kita menyebut tentang kawasan waktu-diskret, namun indeksnya tidak perlu ditafsirkan sebagai waktu. Dalam berbagai penerapan fisis, tafsiran-tafsiran yang lainya mungkin lebih sesuai. Sebagian besar dari barisan bilangan yang ditinjau disini adalah nol untuk suatu indeks k yang lebih kecil dari pada nol. Namun demikian pengembanganya tidak terbatas pada barisan-barisan satu sisi ini. Kita telah memilih untuk mendefinisikan transformasi-Z dalam pangkat-pangkat negatif dari z, sesuai dengan literatur keteknikan mengenai sistem-sistem dan pemrosesan sinyal-sinyal. Sedangkan di pihak lain, berbagai publikasi dalam matematika dan geofisika seringkali menggunakan pangkat positif dari z. Pengalihan dari definisi yang satu ke yang lainnya menyangkut substitusi sederhana 1/z bagi z.

mengali

M,N M,N

Logaritma kebalikan transformasi

logaritma

log M log M + log N

log N

penjumlahan logaritma

konvolusi

u.h y = u . h

Logaritma transformasi invers

logaritma

U , H y = u . h

Mengali transformasi

Gambar 4.1.1 transformasi analog terhadap logaritma

4.2 TRANSFORMASI-Z

Bagi suatu barisan berhingga x yang diketahui, kita definisikan sebuah fungsi X(z) dan variabel kompleks z dengan membentuk polinom

X(z)=xz + x z+ . . . + xz= xz (4.2.1)

Fungsi X(z) disebut fungsi penurun (generation function) atau transformasi-Z dari barisan x. (Kita seharusnya membedakan antara fungsi X(.) dan nilai yang diambil fungsi ini untuk suatu z tertentu. Namun demikian, berdasarkan cara penulisan baku, kita akan mengikuti praktek yang telah dianut dengan menggunakan X(z) untuk mengartikan keduanya). Dalam (4.2.1), indeks-indeks awal dan akhir dari barisan, yakni I dan m, dapat merupakan sebarang bilangan bulat mulai dari - hingga + . Contoh berikut melukiskan perhitungan yang digunakan untuk memperoleh transformasi-Z bagi beberapa barisan sederhana.

Contoh 4.2.1

Andaikan barisan x adalah barisan berhingga

Dengan menggunakan (4.2.1), maka transformasi-Z nya adalah

X(z) = xz= 8z + 3 - 2 + 4 - 6

Contoh 4.2.2

Tinjau transformasi-Z dari barisan x yang didefinisikan oleh

x =

sekali lagi dengan menggunakan definisi (4.2.1), kita lihat bahwa

x(z) = xz = 2z = (2z) = =

Contoh 4.2.3

Tinjau transformasi-Z bagi barisan yang didefinisikan oleh

x =

Dalam hal ini transformasi-Z nya diberikan oleh

dengan m = -k

Di mana telah kita gunakan hasil-hasil dari Apendiks A untuk menghitung deret ukur.

Kita dapat menguraikan X(z) dalam suatu deret pangkat dalam z ( dengan beberapa metode ) untuk menemukan kembali barisan x. Tetapi, dalam kasus-di mana{Xk}tak nol untuk kedua indeks-indeks positif dan negatif,maka sangatlah perlu untuk di sadari bahwa X(z) sendiri tidak dapat di tentukan secara unik (unique)dari barisan x. Alasanya adalah bahwa kita dapat menguraikan X(z) ke dalam suatu deret pangkat dalam lebih daripada satu cara jika kita mempunyai kebebasan untuk meninjau barisan {Xk} yang dapat bernilai tak nol bagi k positif maupun negatif. Sebagai contoh, tinjau barisan-barisan x dan y yang di definisikan dalam (4.2.2) dan (4.2.3)

(4.2.2)

(4.2.3)

Transformasi-Z dari x adalah

X(z) = Z[(, k < 0)] =

(4.2.4)

Transformasi-Z dari y adalah

Y(z) = (4.2.5)

Dengan membandingkan (4.2.2) dan (4.2.3), kita lihatbahwa barisan-barisan dari(4.2.2) dan (4.2.3) memiliki transformasi-z yang sama. Hasil ini memang membingungkan secara sepintas karena ini berarti bahwa trnsformasi-Z dan barisan-barisan yang bersangkutan tidaklah berkaitan secara unik. Kita dapat membetulkan permasalahan ini dengan mencirikan daerah konvergensinya (region of convergence) untuk mana jumlah-jumlah dalam (4.2.2) dan (4.2.3) konvergen mutlak. Kelak akan kita lihat bahwa suatu X(z) tetentu dan daerah konvergensinya mencirikan secara unik barisan {Xk} yang menghasilkan polinom X(z).

Daerah konvergensi dari X(z) adalah himpunan dari bilangan kompleks z untuk mana jumlah ada : yakni, himpunan z untuk mana X(z) memiliki nilai berhingga. Sebagai contoh,dalam (4.2.4), X(z) konvergen mutlak bagi |1/ i < 1 atau |z| < |a|. Begitu pula, dalam (4.2.5), Y(z) konvergen mutlak bagi | | < 1 atau |z| > |a|. Dalam bagian 4.3, kita akan perlihatkan bahwa mengetahui akan X(z) dan daerah konvergensinya tidaklah menentukan secara unik barisan {Xk} yang bersangkutan. Jika kita hanya menaruh perhatian pada barisan-barisan satu sisi, yakni, barisan-barisan yang hanya tak nol bagi indeks-indeks yang positif atau negatif saja, maka daerah konvergensinya tidak diperlukan untuk mencirikan {Xk} secara unik.

Perlu kita perhatikan bahwa beberapa pengarang mendefinisikan transformasi-Z dari sebuah barisan sebagai berikut

(4.2.6)

Kita dapat memperoleh transformasi-Z nya (4.2.6), dari X(z) seperti didefinisikan oleh (4.2.1) dengan mensubtitusikan z bagi dalam (4.2.1) dan dalam pernyataan yang mendefinisikan daerah konfergensinya. Sebagai contoh, jika X(z) = a/(a – z), |zi < a, maka X(z) = a/(a –), |z| > a

4.3 KONVERGENSI DARI TRANSFORMATOR-Z

Tinjauan transformasi-Z dari barisan x di mana

Adalah penting untuk mengetahui daerah konvergensi mutlak dari X(z) dalam bidang-z kompleks. Yakni, kita ingin untuk menentukan nilai-nilai kompleks dari z untuk mana S || memiliki suatu nilai yang berhingga. Jika kita nyatakan z dalam bentuk kutub (polar) sebagai , maka kita peroleh

(4.3.1)

Agar jumlah tak berhingga | hasilnya berhingga maka tiap-tiap jumlah dalam (4.3.1) haruslah berhingga . Kita dapat menjamin bahwa tiap-tiap jumlah ini berhingga, asalkan kita dapat menemukan tiga buah bilangan positif M, , sedemikian rupa sehingga ÷ Xk÷ ≤ M untuk k ≥ 0. ( Kita menganggap bahwa dan dipilih sedemikian rupa, sehingga batasnya ketat). Kemudin kita dapat mensubtitusikan batas-batas ini ke dalam (4.3.1) untuk memperoleh

(4.3.2)

Jumlah-jumlah dalam (4.3.2) adalah berhingga jika dan hanya jika r/ < 1 dalam jumlah pertama dan /r < 1 dalam jumlah ke dua. Yakni, jumlah yang menyatakan X(z)

Jadi sebagai contoh, jika = 2 adalah syarat awal dalam (4.4.3) dengan = , k ≥0 seperti sebelumnya maka kita peroleh

{ + } = Zu { + }

Selanjutnya dengan mensubtitusikan = 2 dan = 0 dan kumpulkan suku-sukunya maka kita peroleh

(z) + + (z) = (z) + + (z)

(z)(1 + ) + .2 = (z)(1+)

Yang mana menghasilkan

(z) = -

Suku pertama di ruas kanan adalah tanggapan yang hanya disebabkan oleh u . Suku kedua adalah tanggapan yang hanya disebabkan oleh syarat awal. Jadi keluaran yang kita peroleh merupakan jumlah dari dua barisan: tanggapan dari suatu sistem yang pada awalnya tak terangsang terhadap u ditambah pemecahan homogen bagi syarat-syarat awal yang diberikan, yakni

y = +